Score per attività
Sia un’attività A_j composta da n fasi giocate. Ogni fase i ha associata una difficoltà relativa d_i che si calcola come:
\[ d_i = \frac{\text{fase}_i}{\text{fase}_{\text{max}}} \]dove fase_i rappresenta il numero o il livello della fase giocata e fase_max è la fase più avanzata raggiungibile all’interno dell’attività. Così, d_i assume valori tra 0 e 1, indicando quanto è stata difficile ogni fase in relazione alla massima.
Lo score medio delle fasi giocate si indica con S_i e la difficoltà massima raggiunta come:
\[ d_{\text{max}} = \text{max}(d_i) \]Lo score ponderato dell’attività si definisce come:
\[ S_j = \frac{\sum_{i=1}^n S_i \cdot d_i}{\sum_{i=1}^n d_i} \cdot d_{\text{max}} \]Questo valore combina gli score di tutte le fasi, ponderandoli in base alla loro difficoltà relativa e adattando il risultato finale in funzione della fase più difficile raggiunta.
Se inoltre consideriamo che lo score di una fase (S_i) è la media degli score ottenuti negli esercizi che la compongono, ponderati anch’essi per la loro difficoltà, possiamo esprimere:
\[ S_i = \frac{\sum_{l=1}^{m_i} s_l \cdot d_i}{m_i} \]dove:
- s_l è lo score ottenuto nell’esercizio l all’interno della fase i
- m_i è il numero di esercizi giocati nella fase i
Sostituendo questa espressione nella formula generale, otteniamo una forma equivalente dello score totale dell’attività:
\[ S_j = \frac{\sum_{i=1}^n \left( \sum_{l=1}^{m_i} s_l \cdot d_i \right)}{\sum_{i=1}^n d_i} \cdot d_{\text{max}} \]Interpretazione intuitiva
Lo score S_j di un’attività riflette la prestazione globale dell’utente in tutte le fasi, dando più peso a quelle con maggiore difficoltà.
Inoltre, il fattore d_max aggiusta il risultato in base al livello massimo di sfida raggiunto, in modo che due utenti con la stessa prestazione media ottengano uno score più alto se sono arrivati a fasi più avanzate.
Metriche complementari
Oltre allo score ponderato, si calcolano le seguenti metriche associate a ogni attività A_j:
\[ \text{Difficoltà media: } \quad \bar{d} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} d_i \] \[ \text{Difficoltà massima: } \quad d_{\text{max}} = \text{max}_{1 \le i \le n}(d_i) \] \[ \text{Performance (prestazione): } \quad P_j = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} s_i \]dove:
- n è il numero totale di fasi giocate all’interno dell’attività.
- d_i rappresenta la difficoltà relativa della fase i.
- s_i è lo score medio ottenuto nella fase i.
- P_j indica la prestazione media dell’utente in un’attività, senza ponderazione per la difficoltà.
Interpretazione:
- La difficoltà media riflette il livello medio di complessità delle fasi giocate.
- La difficoltà massima indica la fase più impegnativa raggiunta.
- La performance misura la prestazione generale dell’utente, considerando tutte le fasi allo stesso modo, senza adattare per la difficoltà di ciascuna.
Queste metriche permettono di completare l’interpretazione dello score ponderato, offrendo una visione più ampia della prestazione: mentre lo score ponderato valorizza la difficoltà raggiunta, la performance mostra la consistenza della prestazione in tutte le fasi.
Score per funzioni (e sottofunzioni) cognitive
Ogni attività A_j contribuisce a una o più funzioni cognitive l con un peso associato w_j^l, che riflette il grado di relazione tra l’attività e la funzione/sottofunzione cognitiva.
Lo score di una funzione/sottofunzione cognitiva l si calcola come una media ponderata degli score delle attività che la allenano:
\[ S_l = \frac{\sum_{i=1}^k w_i^{l} \cdot S_i}{\sum_{i=1}^k w_i^{l}} \]dove:
- S_j è lo score ponderato dell’attività A_j
- w_j^l è il peso che indica la rilevanza dell’attività A_j nella funzione/sottofunzione cognitiva l.
- k è il numero totale di attività giocate associate alla funzione/sottofunzione cognitiva.
In modo analogo, si definiscono le metriche complementari per funzione/sottofunzione cognitiva:
\[ \bar{d}_l = \frac{\sum_{j=1}^k w_j^{l} \cdot \bar{d}_j}{\sum_{j=1}^k w_j^{l}}, \quad d_{\text{max},l} = \text{max}_{1 \le j \le k}\bigl(d_{\text{max},j}\bigr), \quad P_l = \frac{\sum_{j=1}^k w_j^{l} \cdot P_j}{\sum_{j=1}^k w_j^{l}} \]dove:
Impatto di ogni funzione (e sottofunzione) cognitiva
L’impatto relativo o la percentuale di contributo di una funzione/sottofunzione cognitiva l alla prestazione globale dell’utente si calcola come:
\[ \%_l = \frac{\sum_{i=1}^k w_i^{l} \cdot S_i}{\sum_{i=1}^k S_i} \]Questo valore indica il peso relativo che ogni funzione/sottofunzione cognitiva ha nel risultato totale, considerando sia gli score sia le relazioni delle attività con ciascuna funzione/sottofunzione.
Score e metriche globali
Infine, lo score globale dell’utente si ottiene come una media ponderata degli score per funzione cognitiva e dei loro rispettivi impatti:
\[ S_{\text{global}} = \sum_{l=1}^{L} \%_l \cdot S_l \]In modo parallelo si calcolano le metriche globali equivalenti:
\[ \bar{d}_{\text{global}} = \sum_{l=1}^{L} \%_l \cdot \bar{d}_l, \quad d_{\text{max},\text{global}} = \text{max}_{1 \le l \le L}\bigl(d_{\text{max},l}\bigr), \quad P_{\text{global}} = \sum_{l=1}^{L} \%_l \cdot P_l \]dove L è il numero totale di funzioni cognitive considerate.
Interpretazione
